MATHS PART - 2 (विभाज्यता के नियम Rule of Divisibility)

MPTET/CTET/RTET/UPTET/HTET एवं अन्य राज्यों द्वारा आयोजित प्राथमिक शिक्षक / PRT चयन परीक्षा के पाठ्यक्रम पर आधारित गणित (MATHEMATICS) विषय की तैयारी के लिए यहाँ पर बिन्दुवार जानकारी प्रस्तुत की जा रही है

विभाज्यता के नियम Rules of Divisibility

कोई संख्या किस किस संख्या से विभाजित होती है यह पता करने के लिए कुछ निश्चित नियम बनाये गए है जिन्हें हम विभाज्यता के नियम कहते है जो कि निम्नानुसार हैं -

1 से विभाज्यता का नियम :-

1 से सभी संख्याये विभाजित होती है 

उदाहरण - 1,2,5, 9,13 ,23 आदि

2 से विभाज्यता का नियम :-

संख्यायें जिनके इकाई के स्थान पर  0, 2, 4, 6, 8  हो 2 से पुर्णतः विभाजित होती है ,

उदाहरण – 22 ,12 ,18,98 ,122 ये  सभी संख्याए 2 से विभाज्य होंगी

3 से विभाज्यता का नियम :-

कोई भी संख्या 3 से विभाजित होती है यदि उस संख्या के सारे अंको का योग 3 से बिभाजित हो.

उदहारण :- (i).231 =2+3+1 =6 ,यह संख्या 3 से विभाजित है अतः 231 भी 3 से विभाजित होगी.

                (ii) 695421 =6+9+5+4+2+1=27 ,3 से विभाजित है अतः दी गई संख्या भी 3 से विभाजित होगी

4 से विभाज्यता का नियम :-

कोई भी संख्या 4 से विभाजित होगी ,यदि दी गई संख्या के अंतिम दो अंक 4  से विभाजित हो

उदाहरण -(i) 6879376 ,यहाँ 76  , 4 से विभजित है अतः दी गई संख्या 4 से विभाजित होगा

              (ii) 496138 ,यहाँ 38 ,4 से विभाजित नहीं होगी ,अतः दी गई संख्या 4 से विभाजित नहीं होगी

5 से विभाज्यता का नियम :-

कोई भी संख्या 5 से विभाजित होगी यदि उस संख्या के इकाई के अंक पर 0,या 5 हो .

उदाहरण- 7849320 ,76895 ,68790, इन सभी संख्याओ के इकाई के स्थान पर 0,5 है अतः ये 5 से विभाजित होगी

6 से विभाज्यता का नियम :-

वो सभी संख्याये 6 से विभाजित होगी ,यदि वो 2,और 3 से विभाजित होतो है .

उदाहरण - 222 ,ये संख्या 6 से विभाजित होगी क्योकि यह 2 से भी विभाजित है और 3 से भी विभाजित है

7 से विभाज्यता का नियम: –

यदि किसी संख्या के इकाई के अंक का दोगुना बाकी  अंकों से बनी संख्या से घटाने पर प्राप्त संख्या 7 से विभाजित होता है तो वह संख्या भी 7 से पूर्णत: विभाजित होगी।जैसे -2170, 6377 ,348 आदि ।

उदाहरण :- (i)जाँच-348 =34 -8*2 =34-16 =18 ,7 से विभाजित नहीं है ,अतः दी गई संख्या 7 से विभाजित नहीं होगी

                (ii)6377=637 – 14=623 =62-3*2=62-6=56 ,7 से विभाजित है ,अतः दी गुई संख्या भी 7 से विभाजित होगी

नोट -   यदि दी गई संख्या बड़ी हो तो , यह प्रक्रिया दोहराया जायेगा.

8 से विभाज्यता का नियम :- 

यदि किसी संख्या के इकाई, दहाई और सैकड़े के अंकों से बनी संख्या 8 से विभाजित होती है अथवा किसी सख्या के अंतिम तीन  अंक 8 से विभाजित होती है तो वह संख्या भी 8 से विभाजित होती है। जैसे -4528, 69456, 1000 आदि

उदाहराण- (i)4528 ,इसमे अंतिम तीन  अंक 528, 8 से विभाजित होती है अतः दी गई संख्या 8 से विभाजित होगी

(ii)69456 ,इसमे 456 ,8 से विभाजित है अतः दी गई संख्या भी 8 से विभाजित होगी

9 से विभाज्यता का नियम :-

जिस संख्या के अंकों का योग 9 से विभाजित हो जाता है, तो वह संख्या भी 9 से विभाजित होती है। जैसे – 4536, 7839, 12348 आदि।

उदाहराण:- जाँच-4536 =4+5+3+6=18 ,9 से विभाजित है ,अतः दी गई संख्या भी 9 से विभाजित होगी

78363=7+8+3+6+3=27, 9 से विभाजित है ,अतः दी गई संख्या भी ,9 से विभाजित होगी

10 से विभाज्यता का नियम :-

जिस संख्या के इकाई के स्थान पर 0  आता है, तो वह संख्या 10 से विभाजित होती है।

जैसे- 680, 450 , 10000, 78640 आदि।

11 से विभाज्यता का नियम :-

यदि किसी संख्या के सम स्थानों पर आए अंकों के योग और विषम स्थानों पर आए अंकों के योग का अंतर 0 हो या 11 से विभाजित होता हो तो वह संख्या भी 11 से विभाजित होगी।

जैसे -2442, 9482 आदि , जाँच:-2442 =(4+2)-(4+2)=0 , अतः दी गई संख्या 11 से विभाजित है

9482=(9+8)-(4+2)=11 ,11 से विभाजित होगी ,अतः दी गई संख्या भी 11 से विभाजित होगी .

12 से विभाज्यता का नियम :-

जो संख्या 3 और 4  दोनों से विभाजित होती है वह संख्या 12 से भी विभाजित होती है।

जैसे – 6300 , 21408 आदि ,दी गई संख्या 3 और 4 दोनों से विभाजित होगी ,इसके लिए हम अलग – अलग दोनों स्संख्याओ से divisibility(विभाज्यता ) को  चेक करेगें

13 से विभाज्यता का नियम :-

 किसी संख्या के इकाई के अंक का चार गुना बाकी अंकों से बनी संख्या में जोड़ने पर प्राप्त योगफल यदि 13 से विभाजित होता है तो वह संख्या भी 13 से विभाजित हो जाएगी। जैसे – 2579

जाँच -2579 =257 +9*4 =257+36 = 293 ,13 से विभाजित नहीं  है अतः दी गई संख्या भी 13 से विभाजित नहीं  होगी.

14 से विभाज्यता का नियम :-

यदि कोई संख्या 7 और 2 से विभाजित है तो वह संख्या 14 से भी विभाजित होगी .

उदहारण- 136 ,294 , ये संख्यांये 7 और 2 दोनों से ही विभाजित है ,इसकि हम विभाज्यता बारी -बारी से चेक करेंगे   

15 से विभाज्यता का नियम :-

 जो संख्या 3 और 5 दोनों से विभाजित होती है वह संख्या 15 से भी विभाजित होती है।

जैसे – 6300 , 21240, 43125 आदि ,दी हुई संख्या 3 और 5 दोनों से ही विभाजित है ,अतः यह 15 से भी विभाजित होगी

प्रतियोगी परीक्षा हेतु अन्य महत्वपूर्ण विभाज्यता संबंधी नियम :-

n एक प्राकृतिक संख्या है. तब

1. n3 – n सदैव 6 से विभाजित होगा. जाँच- माना की n एक प्राकृतिक संख्या है ,जहाँ (i)n = 3 , n3 – n =27 -3 =24 ,यह 6 से विभाजित है ,(ii)n =4 ,n3 – n =64 -4=60 ,यह संख्या 6 से विभाजित है
2. (10n-1) एक भाज्य संख्या है, यदि n एक सम संख्या है तो यह 11 से भी विभाजित होगी। ,जाँच -माना की n=2(सम संख्या)  है .(10n-1)=100-1=99 , यह एक भाज्य संख्या है, यह संख्या 11 से विभाजित होती हैं.
3. (an+bn) सदैव (a+b) से विभाज्य होती है,यदि n एक विसम संख्या है ,जाँच-माना n=3,a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) ,यह सर्वसमिका (a+b )से विभाजित होती है
4. (an– bn) सदैव (a-b) से हमेसा  विभाज्य होती है और यदि n एक सम संख्या है तो यह (a+b) से भी विभाज्य होगी. जाँच- माना की n=2(सम संख्या हो ) तो , (a2-b2) = (a+b) (a-b),यह संख्या (a+b) से विभाजित होगी ,अब n=3(विसम संख्या ) माना ,a3-b3=(a-b)(a2-ab+b2) , यह संख्या भी a-b से विभाजित होगी .

किसी भी संख्या “P” के अभाज्य होने की जाँच करना :-

माना की p कोई दी गई प्राकृतिक  संख्या है और हमें जाँच करना है की p एक अभाज्य संख्या है या नहीं ,इसकी जाँच हम निचे दिए गए स्टेप्स में करेगे

1. P एक प्राकृतिक संख्या है ,इसके अभाज्य होने की जाच करना है .
2. मान लो n कोई संख्या है ,जहाँ ,n*n>=p
3. n से छोटा सभी अभाज्य संख्याये ज्ञात करे .
4. यदि n से छोटे किसी भी अभाज्य संख्या से ,p विभाजित होती है तो ,p एक अभाज्य संख्या नहीं है .
5. यदि n से छोटे किसी भी संख्या से p विभाजित नहीं होती है तो p एक अभाज्य संख्या है .

उदहारण-137 ,173 ,319 ,437 की अभाज्यता की जाँच करें.

(i)137  :-12*12>=137 ,12 से छोटा सभी अभाज्य संख्याए =2,3,5,7,11 ,अब उपर दिए गए नियमो से हम विभाज्यता की जाँच करेगें ,इन संख्याओ में से किसी से भी 137 विभाजित नहीं है अतः 137 एक अभाज्य संख्या है

(ii)173  :-14*14>=173 ,14 से छोटा सभी अभाज्य संख्याए =2,3,5,7,11 ,13 , अब उपर दिए गए नियमो से हम विभाज्यता की जाँच करेगें ,इन संख्याओ में से किसी से भी 173 विभाजित नहीं है अतः 173 एक अभाज्य संख्या है

(iii)319  :-18*18>=319 ,18 से छोटा सभी अभाज्य संख्याए =2,3,5,7,11 ,13,17 , अब उपर दिए गए नियमो से हम विभाज्यता की जाँच करेगें ,इन संख्याओ में से किसी से भी 319 विभाजित नहीं है अतः 319 एक अभाज्य संख्या है

(iv)437  :-21*21>=437 ,21 से छोटा सभी अभाज्य संख्याए =2,3,5,7,11 ,13 ,17,19, अब उपर दिए गए नियमो से हम विभाज्यता की जाँच करेगें ,इन संख्याओ में से किसी से भी 437 विभाजित नहीं है अतः 437 एक अभाज्य संख्या है

विभाज्यता के नियमो पर आधारित प्रश्न :-

1.यदि संख्या  517*324 , 3 से पूरा – पूरा  विभाजित होती है तो , * के स्थान पर कौन सा संख्या होगा ?

Ans:- 5+1+7++3+2+4=(22+) ,3 से विभाजित है  अतः 22 से ठीक बड़ा 3 से विभाजित संख्या 24 ,इसप्रकार  * = 24-22=2

अतः दी गई संख्या में * के जगह पर 2 होगा

2.यदी संख्या 97215*6 , 11 से विभाजित है तो * के स्तर पर कौन सी संख्या होगी ?

Ans :-972156 =(9+2+5+6)-(7+1+)=22-8-=14- =0या 11 से बिभाजित होगा अतः 14-11=3 ,अतः *के जगह पर3 होगा

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1. MATHS PART - 1 (संख्यायें NUMBERS)

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